Podamy najpierw nieformalne, intuicyjne określenie ciągu. Jeśli ustalone liczby rzeczywiste ustawimy w pewnej określonej kolejności jedna za drugą, to powiemy, że jest to ciąg liczbowy lub krócej ciąg. Na przykład, jeśli ustawimy kolejno liczby parzyste uporządkowane rosnąco , to otrzymamy ciąg liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, ..., 2(n + 1), ... . Podobnie, ciągiem liczb naturalnych nazwiemy uporządkowany rosnąco zbiór liczb naturalnych: 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... , n, ... .

Zanim podamy ścisłą definicję ciągu liczbowego przypomnijmy definicję funkcji. Niech X, Y będą niepustymi zbiorami liczbowymi.

Przyporządkowanie to możemy zapisać w różny sposób:

Jeśli zbiór X jest zbiorem liczb naturalnych N (lub jego podzbiorem postaci { n₀, n₀ + 1, ,,, }), to funkcję f nazywamy ciągiem liczbowym nieskończonym, lub krócej ciągiem. Zatem ciąg liczbowy jest szczególnym przypadkiem funkcji o wartościach rzeczywistych. Dla n ∈ N ( lub n ≥ n₀ ), f(n) nazywamy n - tym wyrazem ciągu lub wyrazem ogólnym. W dalszej części wykładu symbolem N oznaczać będziemy zbiór indeksów, dla których określone są wyrazy rozważanych ciągów, a więc zbiór liczb naturalnych lub zbiór liczb naturalnych większych bądź równych od ustalonego n₀.

Niektóre spotykane oznaczenia ciągu: (a_n) lub a₀, a₁,....., lub a_n, n = n₀, n₀+1, ..., lub {a_n}, (a_n)_n∈N, (a_n, n ∈ N).

Liczbę a_n nazywamy wyrazem ogólnym ciągu lub n - tym elementem (wyrazem) ciągu. Często stosowane oznaczenia wyrazów ogólnych: a_n, b_n, c_n, x_n, y_n, ... .

Przykłady

• (n²) jest ciągiem o wyrazie ogólnym a_n = n², n ∈ N. Oznacza to, że każdej liczbie naturalnej n przyporządkowany jest jej kwadrat. Możemy też ten ciąg zapisać wymieniając jego kolejne wyrazy: 0, 1, 4, 9, 16, ..., n², ... , lub jako funkcję f : N → R, gdzie f(n) = n² = a_n

• Ciąg , n = 0, 1, 2,..., jest dobrze znanym nam ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 1/2. Inne przedstawienia ciągu to:

• Ciąg (-1)ⁿ, n = 0, 1, 2, .... , można zapisać jako: 1, -1, 1, -1, 1, ,,, . Liczbom parzystym i zeru przyporządkowana jest liczba 1, a liczbom nieparzystym liczba -1. Zbiór wartości ciągu jest dwuelementowy.

• a_n = c + nr, n ∈ N, (c, r są ustalonymi liczbami rzeczywistymi), nazywamy ciągiem arytmetycznym o różnicy r.

• a_n = cqⁿ, n ∈ N, (c i q są ustalonymi liczbami rzeczywistymi), nazywamy ciągiem geometrycznym o ilorazie q.

Powyżej, ciągi określane są poprzez podanie wzoru na wyraz ogólny. Można określać też ciągi opisowo, np. a_n = n-ta liczba pierwsza, (b_n) = ciąg kwadratów liczb naturalnych, ciąg liczb pierwszych, ... .

Często, zwłaszcza w informatyce, ciągi definiowane są rekurencyjnie. Na przykład bezpośrednio określamy pierwszy wyraz ciągu jako ustaloną liczbę x₀, a każdy kolejny wyraz x_n+1 definiujemy przy pomocy poprzedniego x_n: x_n+1 = g(x_n), gdzie g jest zadaną funkcją.

Przykłady

• x₁
= 1, x_n+1 = 2x_n , n = 1, 2, ..., - ciąg geometryczny o ilorazie q = 2
• c₁
= 1, c₂ = 1, c_n+2 = c_n+1 + c_n, n = 1, 2, ...

Pytanie kontrolne 1.1

Znajdź wyraz ogólny ciągu określonego rekurencyjnie:

Graficzną ilustracją ciągu jest jego wykres, tzn. zbiór punktów na płaszczyźnie

{ (n, a_n), n ∈ N }.

Rys. 1.1 Wykres ciągu o wyrazie ogólnym a_n = 0,1⋅ n²

Zbiór wyrazów ciągu { a_n , n ∈ N } przedstawimy graficznie jako podzbiór osi liczbowej.

Rys. 1.2 Zbiór wartości ciągu o wyrazie ogólnym a_n = (− 1)ⁿ⋅ 0,1⋅ n²

Przykłady

• ciąg kwadratów liczb naturalnych jest rosnący, nieograniczony

• ciąg geometryczny o ilorazie 1/2 jest malejący, ograniczony (A = 1)

• ciąg o wyrazie ogólnym jest malejący, ograniczony:

  

• ciąg ((− 2)ⁿ) jest ograniczony (A = 2)

• ciąg (a_n) taki, że a_2n = a_2n+1 = 1 −1/n, n = 1, 2, ... , jest niemalejący, ograniczony (A = 1). Wykres ciągu przedstawia rys.1.3.

Rys. 1.3 Wykres ciągu niemalejącego i ograniczonego

Pytanie kontrolne 1.2

Czy ciąg o wyrazie ogólnym jest rosnący, ograniczony ?

Zobacz dowód

Ciąg niemalejący lub nierosnący nazywamy ciągiem monotonicznym, podczas gdy ciąg rosnący lub malejący nazywamy ciągiem ściśle monotonicznym. Zauważmy, że wprost z definicji wynika, że ciąg rosnący (malejący) jest również ciągiem niemalejącym (nierosnącym). Stąd też ciąg ściśle monotoniczny jest ciągiem monotonicznym.

Dowód

(konieczność: ⇒) Dla dowolnego n: ⎢ a_n ⎢ ≤ A ⇔ − A ≤ a_n ≤ A. Zatem ciąg jest ograniczony z dołu przez liczbę m = − A oraz z góry przez liczbę M = A.

(dostateczność: ⇐) Załóżmy, że − m ≤ a_n ≤ M. Przyjmując A = max {⎮ m⎮,⎮ M⎮ } otrzymujemy ⎢ a_n ⎢ ≤ A.

Pytanie kontrolne 1.3

Znajdź wyraz ogólny ilorazu ciągów (a_n ), (b_n ) takich, ż

następny punkt ≈