następny punkt ≈


1. GRADIENT

Definicja (gradient funkcji)

Niech f : D ⎯→ R, D ⊂ Rm, A∈ IntD. Jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie A, to wektor nazywamy gradientem funkcji f w punkcie A i oznaczamy gradf(A) lub ∇ f(A). Symbolem gradf (lub ∇ f) oznaczamy funkcję przyporządkowującą każdemu punktowi A w którym gradient jest określony, wektor gradf(A) czyli .

Przykład

• Niech . Wyznaczymy grad f oraz grad f(0,1,3).

Mamy:

,

,

.

Zatem

.

• Wyznaczymy teraz gradf oraz gradf(2,5) dla funkcji .

Mamy:

,

,

zatem

Następne twierdzenie i wniosek z niego pozwalają łatwo wyznaczać przybliżone wartości funkcji przy użyciu jej gradientu.

Twierdzenie

Niech f : D ⎯→ R, D ⊂ Rm . Jeśli funkcja f ma wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie A∈ IntD i pochodne te są ciągłe w punkcie A, to

gdzie oznacza iloczyn skalarny tych wektorów, zaś oznacza długość wektora v.

Wniosek

Jeśli funkcja f : D ⎯→ R, D ⊂ Rm ma w pewnym otoczeniu punktu A ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, to dla punktów X bliskich A mamy

.

Niestety oszacowanie błędu tego przybliżenia przekracza ramy tego wykładu.

Przykład

Niech f(x,y) = xy. Obliczamy

.

• Dla A=(1,2), X =(1,02; 1,99) mamy

(z kalkulatora odczytujemy, że 1,021,99≈ 1,04019...).

• Dla A=(2,2), X =(1,98; 2,02) mamy

(z kalkulatora odczytujemy, że 1,982,02≈ 3,9743...).

Przykład

Wyznaczymy gradient funkcji i stosując go obliczymy w przybliżeniu wartość wyrażenia

Mamy

Ponadto a=f(X), gdzie X=(1,06; 1,97) oraz dla punktu A=(1;2) (bliskiego X) mamy f(A)=3. Zatem

Interpretacja gradientu

  1. Wektor gradf(A) wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości funkcji f w punkcie A. Wektor -gradf(A) wskazuje kierunek najszybszego spadku wartości funkcji f w punkcie A.
  2. Gdy f jest funkcją klasy C1 w zbiorze otwartym D ⊂ R2, K jest krzywą określoną równaniem f(x,y)=0, tj. K={(x,y)∈ D : f(x,y)=0} oraz gradf(A)≠ 0 dla każdego punktu A∈ K,to w każdym punkcie (x0, y0)∈ K równanie stycznej do K w punkcie (x0,y0) jest postaci gradf(x0,y0)° (x-x0,y-y0) = 0.
    Wektor gradf(x0,y0) nazywamy wektorem normalnym do krzywej K w punkcie (x0,y0).
  3. Gdy f jest funkcją klasy C1 w zbiorze otwartym D ⊂ R3, S jest powierzchnią określoną równaniem f(x,y,z)=0, tj. S={(x,y,z)∈ D : f(x,y,z)=0} oraz gradf(A)≠ 0 dla każdego punktu A∈ S,to w każdym punkcie (x0,y0,z0)∈ S równanie płaszczyzny stycznej do S w punkcie (x0,y0,z0) jest postaci gradf(x0,y0,z0)° (x-x0,y-y0,z-z0) = 0.
    Wektor gradf(x0,y0,z0) nazywamy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie (x0,y0,z0).

Uzasadnimy jedynie punkt (1) (punkty (2) i (3) wymagają zbyt wiele rozważań geometrycznych).

Wielkość

dla punktów X∈ D bliskich A oraz należących do półprostej {A+tv : t>0 } można uznać za miarę wzrostu wartości funkcji f w kierunku v.

Tymczasem z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że

Zatem wielkość ta jest maksymalna, gdy wektory gradf(A) oraz v są równoległe i mają taki sam zwrot oraz jest minimalna, gdy wektory te są równoległe i mają przeciwny zwrot.

Przykład

• Napiszmy równanie płaszczyzny stycznej w punkcie A=(2,2,2) do powierzchni S o równaniu

Mamy

Zatem płaszczyzna styczna do powierzchni S w punkcie A=(2,2,2) ma równanie

• Wyznaczmy równanie płaszczyzny stycznej w punkcie A=(1,-1,4) do powierzchni S o równaniu

Przepisujemy równanie powierzchni w postaci f(x,y,z)=0, gdzie

Mamy

Zatem płaszczyzna styczna do powierzchni S w punkcie A=(1,-1,4) ma równanie

• Napisz równanie prostej stycznej w punkcie A=(2,-1) do krzywej K o równaniu

Mamy

Zatem prosta styczna do krzywej K w punkcie A=(2,-1) ma równanie


 następny punkt ≈