↔ poprzedni punkt  następny punkt ≈


3. RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOŻONEJ

W paragrafie tym podajemy kilka twierdzeń dotyczących pochodnych funkcji złożonych w przypadku gdy co najmniej jedna ze składanych funkcji jest funkcją wielu zmiennych.

Zasadniczym twierdzeniem z którego wynikają wszystkie pozostałe twierdzenia tego paragrafu jest następujące:

Twierdzenie (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)

Załóżmy, że

  1. funkcje x1(u1,...,un),..., xm(u1,u2,...,un) mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w pewnym otoczeniu punktu A ciągłe w punkcie A;
  2. funkcja f(x1,x2,...,xm) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w pewnym otoczeniu punktu X= (x1(A), ..., xm(A)), ciągłe w punkcie X.

Wówczas funkcja złożona F(u1,...,un) = f(x1(u1,...,un), ..., xm(u1,...,un)) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie A oraz

gdzie pochodne są liczone w punkcie A, zaś pochodne w punkcie X = (x1(A),...,xm(A)).

Powyższe wzory można zapisać w postaci iloczynu macierzy

Uwaga

Gdy m=n=1 to wzór z powyższego twierdzenia przybiera postać

czyli jest po prostu wzorem na pochodną funkcji złożonej jednej zmiennej.

Dla m = 1 ostatnie twierdzenie przybiera postać:

Twierdzenie

Jeśli

  1. funkcja x(u1,...,un) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w pewnym otoczeniu punktu A ciągłe w punkcie A
  2. funkcja f(x) jednej zmiennej ma pochodną właściwą w pewnym otoczeniu punktu x0=x(A)

to funkcja złożona F(u1,...,un) = f(x(u1,...,un)) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie A oraz

gdzie pochodne są liczone w punkcie A, zaś pochodna w punkcie x0=x(A).

Powyższy wzór można zapisać w postaci iloczynu macierzy

Gdy n = 1 to twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej przybiera postać:

Twierdzenie

Jeśli

  1. funkcje x1=x1(t), ...,xm=xm(t) mają pochodne właściwe w punkcie t0
  2. funkcja f(x1,...,xm) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w pewnym otoczeniu punktu X0=f(x1(t0),...,xm(t0))

to funkcja złożona F(t) = f(x1(t), ..., xm(t)) ma pochodną właściwą w punkcie t0 oraz , gdzie pochodne są liczone w punkcie t0, zaś pochodne w punkcie X0.

Uwaga: W poniższych przykładach dla prostoty zapisu przyjęto nieco inne oznaczenia argumentów funkcji.

Przykłady

• Obliczmy , gdy F(u,v)=e2xcosy, gdzie x = u2 - v2, y=2uv.

Mamy F(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)), gdzie f(x,y)=e2xcosy.

Ponieważ

oraz

czyli

Zatem

.

• Niech . Obliczmy .

Mamy: F(u,v,w) = f(x(u,v,w), y(u,v,w)), gdzie f(x,y)=earctg(x/y).

Ponieważ

to

czyli

Zatem

• Obliczmy , gdy F(u,v)=f(x,y,z), gdzie x = uv, y=u+v, z=u/v, zaś o funkcji f wiemy tyle, że ma ona ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Mamy

oraz Stąd

Oznacza to, że

.

W powyższych wzorach pochodne cząstkowe są liczone w punkcie (u, v) zaś pochodne cząstkowe w punkcie (uv, u+v,u/v).

• Obliczmy , gdy , gdzie x=lnt, y=sint.

Mamy F(t)=f(x(t),y(t)), gdzie f(x,y)=xy. Ponadto

Zatem

• Obliczmy , gdy , gdzie

Mamy F(x)=f(x,y(x)), gdzie Ponadto

Zatem


↔ poprzedni punkt  następny punkt ≈