| następny punkt ≈ |
Definicja (obszar normalny względem osi Ox)
Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy obszar D⊂ R2 postaci D= {(x,y) : a ≤ x ≤ b , p(x) ≤ y ≤ q(x)}, gdzie a < b, zaś p(x) i q(x) są ciągłymi funkcjami określonymi na przedziale [a, b] takimi, że p(x) ≤ q(x) dla każdego x∈ [a,b].
Analogicznie definiujemy obszar normalny względem osi Oy:
Definicja (obszar normalny względem osi Oy)
Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy obszar D⊂ R2 postaci
D =
{(x,y): c ≤ y ≤ d, r(y) ≤ x ≤ s (y)} gdzie a < b, zaś r(y) i s(y) są ciągłymi funkcjami określonymi na przedziale [c,d] takimi, że r(y) ≤ s(y) dla każdego
Uwaga
Intuicyjnie, domknięty i ograniczony obszar D jest normalny względem osi Ox jeśli każda prosta prostopadła do osi Ox przecinająca D przecina go wzdłuż odcinka (być może jednopunktowego). Zbiór górnych końców takich odcinków nazywamy górnym brzegiem obszaru D, natomiast zbiór dolnych końców takich odcinków dolnym brzegiem obszaru D.
Jeśli obszar D jest normalny względem osi Ox to
• rzutem zbioru D na oś Ox jest odcinek [a,b]
• dolny brzeg obszaru D jest krzywą o równaniu y=p(x)
• górny brzeg obszaru D jest krzywą o równaniu y=q(x).
Podobnie domknięty i ograniczony i obszar D jest normalny względem osi Oy jeśli każda prosta prostopadła do osi Oy przecinająca D przecina go wzdłuż odcinka (być może jednopunktowego). Zbiór lewych końców takich odcinków nazywamy lewym brzegiem obszaru D, natomiast zbiór prawych końców takich odcinków prawym brzegiem obszaru D.
Jeśli obszar D jest normalny względem osi Oy to
• rzutem zbioru D na oś Oy jest odcinek [c,d]
• lewy brzeg obszaru D jest krzywą o równaniu x=r(y)
• prawy brzeg obszaru D jest krzywą o równaniu x=s(y).
Przykłady
• Obszar D1 jest obszarem normalnym względem osi Ox, ale nie jest normalny względem osi Oy
Rys. 15.1
• Obszar D2 jest obszarem normalnym względem osi Oy, ale nie jest normalny względem osi Ox
Rys. 15.2
• Obszar D3 jest obszarem normalnym zarówno względem osi Ox, jak i osi Oy
Rys. 15.3
• Obszar D4 nie jest obszarem normalnym ani względem osi Ox, ani względem osi Oy
Rys. 15.4
Definicja (dwukrotna całka iterowana)
Niech funkcja f będzie ciągła na obszarze D = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, p(x) ≤ y ≤ q(x)} normalnym względem osi Ox (z definicji obszaru normalnego względem osi Ox wynika, że funkcje p(x), q(x) są ciągłe na przedziale [a, b]).
Ustalamy element x∈ [a,b] i traktujemy funkcję f(x,y) jako funkcję argumentu y określoną na przedziale [p(x),q(x)]. Otrzymana w ten sposób funkcja zmiennej y (na ogół inna dla każdego x) jest ciągła w przedziale [p(x),q(x)], a zatem ma ona skończoną całkę Riemanna na tym przedziale oznaczaną
Można udowodnić, że funkcja A(x) zmiennej x określona wzorem
jest ciągła na przedziale [a,b], a zatem ma ona na nim skończoną całkę Riemanna
Podobnie, jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze D = {(x,y) : c ≤ y ≤ d, r(y) ≤ x ≤ s(y)} normalnym względem osi Oy, to traktując zmienną y jako stałą możemy obliczyć całkę funkcji f(x,y) traktowanej jako funkcja zmiennej x w przedziale [r(y),s(y)] oznaczaną
Otrzymana w ten sposób funkcja B(y) zmiennej y określona wzorem
jest ciągła na przedziale [c,d], a zatem istnieje jej całka Riemanna na tym przedziale
Otrzymane w ten sposób całki
nazywamy (dwukrotnymi) całkami iterowanymi funkcji f.
Całkę 
oznacza się na ogół 
W przypadku tej całki iterowanej całkę 
nazywamy całką wewnętrzną, zaś całkę 
(gdzie ) całką zewnętrzną.
Całkę 
oznacza się na ogół 
W przypadku tej całki iterowanej całkę 
nazywamy całką wewnętrzną, zaś całkę 
(gdzie 
) całką zewnętrzną.
Przykład
Obliczmy całkę iterowaną 
Najpierw obliczamy całkę wewnętrzną całkując względem y i traktując zmienną x jako stałą :
Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (z otrzymanej w wyniku pierwszego całkowania funkcji zmiennej x):
otrzymując ostatecznie:
Przykład
Obliczmy całkę iterowaną 
Najpierw obliczamy całkę wewnętrzną całkując względem x i traktując y jako stałą:
Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (z otrzymanej w wyniku pierwszego całkowania funkcji zmiennej y):
otrzymując ostatecznie:
| następny punkt ≈ |