Załóżmy, że funkcja f : P → R jest funkcją określoną na prostokącie P = { (x, y) ∈ R² : a ≤ x≤ b, c ≤ y ≤ d } o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Przez podział prostokąta P rozumiemy dowolny ciąg P_n = (P₁, P₂,..., P_n) prostokątów o bokach równoległych do osi układu współrzędnych i o parami rozłącznych wnętrzach taki, że

Niech D x_i, D y_i oznaczają długości boków prostokąta P_i, zaś ⎢ P_i⎥ niech oznacza pole tego prostokąta czyli ⎢ P_i⎥ =D x_i ⋅ D y_i.

Średnicą podziału P _n nazywamy długość d_n najdłuższej z przekątnych prostokątów P₁, P₂,..., P_n.

W każdym prostokącie P_i wybieramy po jednym punkcie A_i= (x_i, y_i) i wyznaczamy sumę

nazywaną sumą całkową (Riemanna) funkcji f po prostokącie P, odpowiadającą podziałowi P_n =(P₁,P₂,...,P_n) oraz wyborowi punktów pośrednich (A₁,A₂,...,A_n).

Normalnym ciągiem podziałów nazywamy ciąg

podziałów, których średnice tworzą ciąg zbieżny do zera, zaś ciąg sum całkowych odpowiadający normalnemu ciągowi podziałów (przy dowolnym wyborze punktów A_i) nazywamy normalnym ciągiem sum całkowych funkcji f po prostokącie P.

Definicja (całka podwójna po prostokącie)

Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na prostokącie P⊂ R².

Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemanna) na prostokącie P, jeśli istnieje liczba rzeczywista s taka, że każdy normalny ciąg sum całkowych funkcji f po prostokącie P jest zbieżny do s.

Liczbę s nazywamy całką podwójną (Riemanna) funkcji f po prostokącie P i oznaczamy ją symbolem .

Podkreślmy, że granica s ma być taka sama dla wszystkich normalnych ciągów podziałów prostokąta P i wszystkich możliwych wyborów ciągów punktów pośrednich.

Definicja (całka podwójna po obszarze)

Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na domkniętym ograniczonym obszarze D⊂ R²oraz niech P będzie dowolnym prostokątem o bokach równoległych do osi układu współrzędnych zawierającym D. Na prostokącie P określamy funkcję f∗ w następujący sposób:

Jeżeli istnieje całka podwójna funkcji f∗ po prostokącie P, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna na obszarze D, zaś liczbę nazywamy całką podwójną (Riemanna) funkcji f po obszarze D i oznaczamy symbolem lub

Można wykazać, że istnienie i wielkość liczby

nie zależą od wyboru prostokąta P zawierającego obszar D.

Twierdzenie (własności całki podwójnej)

Niech D⊂ R² będzie obszarem domkniętym i ograniczonym oraz niech f i g będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na D i całkowalnymi na tym obszarze. Wtedy

funkcje f+g, f-g są całkowalne na obszarze D oraz
funkcja ⎜ f ⎥ jest całkowalna w obszarze D oraz
jeżeli f(x,y) ≤ g(x,y) ∀ (x,y) ∈ D, to również

Warunek wystarczający istnienia całki podwójnej funkcji f po obszarze D i sposób jej obliczania podaje następujące:

Twierdzenie

Jeżeli obszar D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, p(x) ≤ y ≤ q(x)} jest obszarem normalnym względem osi O_x , to każda funkcja f ciągła na obszarze D jest na tym obszarze całkowalna. Ponadto zachodzi równość

Oznacza to, że obliczenie całki podwójnej sprowadza się w tym przypadku do obliczenia pewnej dwukrotnej całki iterowanej.

Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla obszarów normalnych względem osi O_y :

Twierdzenie

Jeżeli obszar D = {(x, y): c ≤ y ≤ d, r(y) ≤ x ≤ s(y)} jest obszarem normalnym względem osi O_y , to każda funkcja f ciągła na obszarze D jest na tym obszarze całkowalna. Ponadto zachodzi równość

Obliczmy całkę

gdzie

jest prostokątem o bokach równoległych do osi układu współrzędnych (por. Rys. 15.5).

Obszar D jest normalny względem obu osi. Traktując D jako obszar normalny względem osi O_x otrzymujemy zamianę całki podwójnej na całkę iterowaną:

Traktując D jako obszar normalny względem osi O_y otrzymujemy następującą zamianę całki podwójnej na całkę iterowaną:

Czytelnik zechce sprawdzić, że po obliczeniu tej całki iterowanej ponownie otrzymujemy liczbę 7/60.

Obliczmy całkę

gdzie D jest obszarem ograniczonym łukami krzywych

(por. Rys. 15.6)

Najpierw obliczmy całkę traktując D jako obszar normalny względem osi O_x .

Rzutem zbioru D na oś O_x jest odcinek [0,2]. Górny brzeg zbioru D ma równanie

, a dolny brzeg ma równanie

Rzutem zbioru D na oś O_y jest odcinek [0,4]. Lewy brzeg zbioru D ma równanie

, a prawy - równanie

Oczywiście, gdy obszar jest normalny względem obu osi, to wystarczy zamienić całkę podwójną w jeden sposób na całkę iterowaną i obliczyć ją. Wynika to z tego, że całkując w odwrotnej kolejności otrzymamy ten sam wynik po innych rachunkach. Czasem zdarza się, że stosując jeden z tych sposobów otrzymujemy dużo trudniejsze całki nieoznaczone (np. całki nie wyrażające się przez funkcje elementarne) niż stosując drugi z tych sposobów.

Obliczmy całkę

gdzie D jest obszarem ograniczonym odcinkami prostych

(por. Rys. 15.7)

Obszar D jest normalny względem obu osi. Rzutem zbioru D na oś O_x jest odcinek [0,6]. Górny brzeg zbioru D ma równanie

, a dolny brzeg ma równanie

i pojawia się "drobny" kłopot - całka nieoznaczona

nie wyraża się przez funkcje elementarne tj. nie ma żadnej funkcji elementarnej f takiej, że

Zatem próbujemy obliczyć całkę podwójną traktując D jako obszar normalny względem osi O_y .

Rzutem zbioru D na oś O_y jest odcinek [0,3]. Lewy brzeg zbioru D ma równanie

, a prawy - równanie

Obliczmy całkę

gdzie D jest obszarem ograniczonym łukami krzywych y=sinx x∈ [0,π ], y=3sinx x∈ [0,π ] (por. Rys. 15.8)

Obszar D nie jest normalny względem osi O_y, ale jest normalny względem osi O_x.

Rzutem zbioru D na oś O_x jest odcinek [0,π ]. Górny brzeg zbioru D ma równanie y=3sinx, a dolny brzeg ma równanie y=sinx.

Z układu równań

wyznaczamy punkty przecięcia parabol: A=(0,1), B=(0,-1). Szkicujemy obszar D (por. Rys. 15.9) i korzystając z rysunku zauważamy, że nie jest on normalny względem osi O_x, ale jest normalny względem osi O_y.

Rzutem zbioru D na oś O_y jest odcinek [-1,1]. Lewy brzeg zbioru D to krzywa o równaniu

, a prawy brzeg krzywa o równaniu

W poniższej definicji i w poniższym twierdzeniu przez obszar normalny rozumiemy zbiór który jest obszarem normalnym względem osi O_x lub względem osi O_y.

Definicja (obszar regularny)

Obszar D⊂ R² nazywamy obszarem regularnym, jeśli jest on sumą skończonej liczby obszarów normalnych o parami rozłącznych wnętrzach.

Na Rys. 15.10 naszkicowanych jest kilka obszarów regularnych i ich rozbić na obszary normalne.

Twierdzenie

Niech gdzie są obszarami normalnymi o parami rozłącznych wnętrzach, będzie obszarem regularnym oraz niech f będzie funkcją ciągłą na obszarze D. Wtedy f jest całkowalna na D oraz

Rozbicie obszaru D na sumę obszarów przeprowadzamy również w przypadku, gdy jest on normalny, ale któraś z funkcji których wykresy ograniczają D jest zadana więcej niż jednym wzorem. Mówi o tym poniższa:

Jeśli obszar D jest normalny względem osi O_x, ale jego górny lub dolny brzeg składa się z kilku kawałków będących wykresami różnych funkcji tj. opisanych różnymi równaniami to należy rozbić obszar D prostymi równoległymi do osi O_y na obszary D₁,..., D_k w taki sposób, aby każdy z tych podobszarów miał górny brzeg opisany jednym równaniem i dolny brzeg opisany jednym równaniem. Np. dla obszaru D naszkicowanego na Rys. 15.11 wyliczenie po nim całki podwójnej przeprowadzamy w następujący sposób:

Podobnie, gdy obszar D jest normalny względem osi O_y, ale jego lewy lub prawy brzeg składa się z kilku kawałków będących wykresami różnych funkcji tj. opisanych różnymi równaniami, to należy rozbić obszar D prostymi równoległymi do osi O_x na obszary D₁,..., D_k w taki sposób, aby każdy z tych podobszarów miał lewy brzeg opisany jednym równaniem i prawy brzeg opisany jednym równaniem. Np. dla obszaru D naszkicowanego na Rys. 15.12 wyliczenie po nim całki podwójnej przeprowadzamy w następujący sposób:

Z układów równań

dostajemy x = 2. Z układu równań

dostajemy x = -2. Szkicujemy rysunek obszaru D (por. Rys. 15.13).

Górny brzeg obszaru D opisany jest równaniem

Dlatego rozbijamy obszar D prostą x=0 na 2 podobszary: