Jak już wiemy, w przypadku całki Riemanna funkcji jednej zmiennej można wykazać, że jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale [a,b] przy czym f(x) ≥ 0 dla każdego x∈ [a,b], to ma naturalną interpretację jako pole obszaru ograniczonego od dołu odcinkiem [a,b] osi O_x , a od góry wykresem funkcji f(x), x∈ [a,b].

Podobnie jeżeli f oraz g są funkcjami ciągłymi na przedziale [a,b] przy czym f(x)≤ g(x) dla x∈ [a,b], to całka ma naturalną interpretację jako pole obszaru ograniczonego od dołu wykresem funkcji f(x), x∈ [a,b], a od góry wykresem funkcji g(x), x∈ [a,b].

Podobnie w przypadku dwuwymiarowym można wykazać, że jeżeli f jest funkcją ciągłą na obszarze regularnym D⊂ R² przy czym f(x,y)≥ 0 dla (x,y)∈ D oraz V jest bryłą o kształcie słupa ograniczonego od dołu powierzchnią D zawartą w płaszczyźnie O_xy,

a od góry powierzchnią o równaniu z=f(x,y), (x,y)∈ D (por. Rys. 15.14), to znaczy , to objętość ⏐ V⏐ tej bryły wyraża się wzorem:

Rys. 15.14

Przyjmując f(x,y)=1, ∀ (x,y)∈ D otrzymujemy stąd następujący wzór na pole | D| obszaru D :

(bo objętość takiego słupa o stałej wysokości 1 jest równa polu jego podstawy).

Podobnie jeżeli f oraz g są funkcjami ciągłymi na obszarze D przy czym f(x)≤ g(x) dla każdego (x,y)∈ D, zaś V jest bryłą o kształcie słupa ograniczonego od dołu powierzchnią o równaniu z=f(x,y), (x,y)∈ D, a od góry powierzchnią o równaniu z=g(x,y), (x,y)∈ D (por. Rys.15.15), czyli , to objętość bryły V wyraża się wzorem:

Rys. 15.15

Przykład

Obliczmy za pomocą całki podwójnej pole obszaru D ograniczonego łukami krzywych y=2x, xy=2, y=6 (por. Rys. 15.16)

Rys. 15.16

Mamy:

Obszar D jest normalny względem osi O_y i jako obszar normalny względem tej osi ma następujący opis: Zatem :

Przykład

Obliczmy za pomocą całki podwójnej pole obszaru D ograniczonego łukami krzywych

Mamy:

Wyznaczamy punkty wspólne obu krzywych ograniczających obszar D:

x= x²-2x ⇔ x²-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0∨ x=3.

Szkicujemy obszar D (rys. 15.17).

Rys. 15.17

Obszar ten jest normalny względem osi O_y , lecz wygodniej jest traktować go jako obszar normalny względem osi O_x gdyż jego lewy brzeg jest sumą dwóch krzywych opisanych różnymi równaniami. A zatem : D: 0≤ x≤ 3, x²-2x ≤ y ≤ x, skąd

Przykład

Obliczmy za pomocą całki podwójnej objętość bryły , gdzie D jest podzbiorem płaszczyzny O_xy ograniczonym odcinkami prostych y=2x, y=x, x=2.

Mamy (por. Rys. 15.18).

Rys. 15.18

Zatem

Przykład

Obliczmy za pomocą całki podwójnej objętość bryły , gdzie D jest podzbiorem pierwszej ćwiartki płaszczyzny O_xy ograniczonym łukami krzywych (por.Rys.15.19).

Rys. 15.19

Mamy . Zatem