Niech a_n, n = 1, 2,..., będzie ciągiem liczbowym. Dla ustalonego n, niech S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a_n). Stąd

S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, S₃ = a₁ + a₂ + a₃, i ogólnie

Szereg jest ciągiem (S_n) swoich sum częściowych.

Fakt, że zapisujemy często symbolicznie

Ostatnia równość ma charakter umowny, bo szereg i suma szeregu to pojęcia różne oznaczane tym samym symbolem

Przykład

Rozważmy szereg, którego n-ty wyraz a_n = 1/2ⁿ. Zatem jest to szereg

Ciąg sum częściowych (S_n) ma wyraz ogólny

Zatem

czyli S = 1, co zapisujemy symbolicznie

Pytanie kontrolne 2.1

Oblicz sumę szeregu

Przykład

Pokażemy, że rozbieżny jest szereg − 1 + 1 − 1 + ... + (− 1)ⁿ + ..., czyli szereg

Ciąg (S_n) sum częściowych tego szeregu ma dwa podciągi zbieżne do dwóch różnych granic. Podciąg złożony z wyrazów o indeksach parzystych ma wszystkie wyrazy równe 0, bo dla n = 2k mamy

Podciąg zawierający wyrazy ciągu (S_n) o indeksach nieparzystych ma wyrazy równe − 1, gdyż dla n = 2k − 1 mamy

Zatem ciąg (S_n) jest rozbieżny. Nie może on być zbieżnym, gdyż podciągi każdego ciągu zbieżnego mają jednakowe granice równe granicy tego ciągu.

Przykład

Zbadajmy zbieżność szeregu

Stąd

Pokazaliśmy, że badany szereg jest zbieżny i jego suma wynosi 1, co w skrócie zapisujemy:

Uwaga

Jeśli w szeregu zbieżnym pominiemy skończoną liczbę początkowych wyrazów, to sumy obu szeregów na ogół będą różne, na przykład

Uwaga

Zbieżność szeregów zapewnia zbieżność ich sumy, ale twierdzenie odwrotne nie zachodzi - suma szeregów rozbieżnych może być szeregiem zbieżnym.

Przykład

Niech a_n = n, b_n = − n, n = 1, 2,...

Szeregi

są rozbieżne, ale suma tych szeregów ma n-ty wyraz a_n + b_n = 0, czyli jest szeregiem 0 + 0 + 0 + 0 + ... mającym sumę 0.

Przykład

Obliczymy sumę szeregu:

Pytanie kontrolne 2.2

Oblicz sumę szeregu

ι Zobacz dowód

Pytanie kontrolne 2.3

Czy zbieżny jest szereg

Uwaga

Warunek nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności szeregu . Może on zachodzić dla szeregu rozbieżnego.

Dowód

Wykażemy rozbieżność szeregu harmonicznego stosując metodę dowodu nie wprost. Załóżmy przeto, że szereg harmoniczny jest zbieżny.

Wówczas dla każdego k zbieżna jest także k-ta reszta, czyli szereg

Jeżeli oznaczymy            (1)

co pokazaliśmy w dowodzie warunku koniecznego zbieżności szeregu.

Jeśli n spełnia nierówności k + 1 ≤ n ≤ 2k, to 1/n ≥ (1/2)k, skąd sumując obie strony ostatniej nierówności po n od k + 1 do 2k otrzymamy

Stąd dla N > 2k mamy

skąd

Zatem co sprzeczne jest z równością (1) wynikającą z założenia o zbieżności szeregu. Szereg harmoniczny jest więc rozbieżny.

Pytanie kontrolne 2.4

Niech c będzie dowolną stałą różną od zera. Czy zbieżny jest szereg

Przykład

Zbadamy warunki zbieżności szeregu geometrycznego

• Jeżeli a = 0, to szereg jest oczywiście zbieżny i jego suma równa się 0.

• Jeżeli a ≠ 0, to rozróżniamy dwa przypadki:
  1. ⎮q⎮ < 1

     Ponieważ

     

     Szereg geometryczny jest w tym przypadku zbieżny i jego sumą jest liczba a / (1− q), czyli

     

  2. ⎮q⎮ ≥ 1

     Ponieważ dla każdego naturalnego n mamy

     

     więc nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu. Szereg jest rozbieżny.

Z rozumowania w powyższym przykładzie otrzymujemy

następny punkt ≈