↔ poprzedni punkt  następny punkt ≈


5. ZASTOSOWANIE POCHODNYCH WYŻSZEGO RZĘDU DO WYZNACZANIA EKSTREMÓW FUNKCJI

Twierdzenie

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu x0.

Ponadto załóżmy, że
f′ (x0) = f′ ′ (x0) = ...= f (n-1)(x0) = 0 oraz f (n)(x0) ≠ 0, n > 1.
Wtedy

  1. gdy n jest liczbą parzystą, to f ma ekstremum lokalne w x0 oraz:

    (a) jeśli f (n)(x0) > 0 , to f ma minimum lokalne właściwe w x0 ,

    (b) jeśli f (n)(x0) < 0 , to f ma maksimum lokalne właściwe w x0 .

  2. gdy n jest liczbą nieparzystą, to f nie ma ekstremum lokalnego w x0 (ale funkcja f ma punkt przegięcia w x0) .

Przykład

W oparciu o ostatnie twierdzenie wykażemy, w punktach -1 oraz 1 funkcja f(x) = 5x7 - 7x5 ma ekstrema lokalne, zaś punkt 0 jest jej punktem przegięcia.

Obliczamy kolejne pochodne funkcji f :

f′ (x) = 35x6 - 35x4, f′ ′ (x) = 210x5 - 140x3, f(3)(x) = 1050x4 -420x2, f(4)(x) = 4200x3 - 840x, f(5)(x) = 12600x2 -840 , f(6)(x) = 23200x, f(7) (x) = 23200, wszystkie pochodne wyższych rzędów są funkcjami zerowymi.

Zauważmy, że f′ (-1) = f′ (1) = 0, f′ ′ (-1) = -70 < 0, f′ ′ (1) = 70 > 0 czyli w punkcie -1 funkcja f(x) = 5x7 - 7x5 ma maksimum lokalne , a w punkcie 1 funkcja f ma minimum lokalne .

Następnie : f′ (0) = f′ ′ (0) = f(3)(0) = f(4)(0) = 0, f(5)(0) = -840 ≠ 0 , 5 jest liczbą nieparzystą, zatem punkt 0 jest punktem przegięcia rozpatrywanej funkcji.


↔ poprzedni punkt  następny punkt ≈