Uwagi

•  Z definicji wielomianu Taylora rzędu k funkcji f w punkcie x_o wynika, że stopień tego wielomianu wynosi co najwyżej k, ale może być mniejszy niż k (gdy f^(k)(x₀)=0).

•  Łatwo widać, że wielomian Taylora rzędu k funkcji f w x_o , to jedyny wielomian stopnia niewiększego niż k taki, że

Wynika stąd, że gdy f jest wielomianem stopnia n ≤ k to wielomianem Taylora funkcji f w x₀ jest właśnie funkcja f (jeśli n > k to f nie jest swoim wielomianem Taylora rzędu k).

Okazuje się, że dla x bliskich x₀ liczba jest dobrym przybliżeniem liczby f(x). Dokładniej oszacować wielkość błędu R_n(x) tego przybliżenia pozwala poniższe twierdzenie.

Wzór (∗) nazywamy wzorem Taylora z n-tą resztą w postaci Lagrange'a, a samo wyrażenie

nazywamy n-tą resztą w postaci Lagrange'a

Uwagi

•  Wzór Taylora pozostaje słuszny dla przedziału [x, x₀] ( wtedy x₀ ∈ (x, x₀) ).

W obu przypadkach: x₀ > x, x₀ < x resztę można zapisać jednym wzorem

•  Dla x₀=0 wzór Taylora przybiera postać

i jest nazywany wzorem MacLaurina z n-tą resztą.

•  Pomijając we wzorze Taylora resztę R_n(x) otrzymujemy w otoczeniu punktu x₀ przybliżenie funkcji f wielomianem stopnia (co najwyżej) n-1:

czyli

Zauważmy, że n-ta reszta z wzoru Taylora to po prostu liczba

czyli błąd przybliżenia liczby f(x) liczbą

Przez oszacowaniu błędu takiego przybliżenia rozumiemy wyznaczenie liczby a takiej, że ⏐ R_n(x)⏐ ≤ a.

Przykłady

•  Wypiszemy wzór MacLaurina z 4-tą resztą R₄(x) dla funkcji f(x)=cosx i oszacujemy błąd przybliżenia funkcji f wielomianem MacLaurina rzędu 3 gdy ⎪x⎪≤0,3.

Ponieważ f(x)=cosx, f'(x)=-sinx, f''(x)=-cosx, f⁽³⁾(x)=sinx, f⁽⁴⁾(x)=cosx,

f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-1, f⁽³⁾(0)=0, to wzór MacLaurina z R₄(x) dla funkcji cosx ma postać

dla pewnego c leżącego między 0 oraz x. Zatem wielomian MacLaurina rzędu 3 dla funkcji f(x)=cosx ma postać

i w tym przypadku stopień wielomianu MacLaurina jest niższy niż jego rząd. Pozostaje jeszcze oszacować błąd przybliżenia cosx przez gdy ⎪ x⎪ ≤ 0,3. Otóż

Przedostatnia nierówność wynika z tego, że ⎪ cosc⎪≤ 1.

•  Wypiszemy wzór Taylora z 4-tą resztą dla funkcji f(x)=x/(x-3) w punkcie x₀=-2. Podamy wzór przybliżony na wartości tej funkcji jaki otrzymujemy odrzucając po prawej stronie wzoru Taylora resztę R₄(x) i oszacujemy błąd jaki popełniamy stosując ten wzór w punkcie -1,95 tj. przybliżając liczbę f(-1,95) przez T_-2(-1,95), gdzie T_-2(x) jest wielomianem Taylora rzędu 3 funkcji f.

Wynika stąd, że wzór Taylora z R₄(x) dla funkcji f w punkcie x₀ jest postaci

dla pewnego c leżącego między -2 oraz x.

W szczególności wielomian Taylora rzędu 3 dla funkcji f w punkcie -2 ma postać

a zatem przybliżony wzór na wartości funkcji f dla x bliskich -2 ma postać

W szczególności:

Błąd tego przybliżenia możemy oszacować w następujący sposób:

ponieważ dla c takiego, że -2<c<-1,95 mamy ⎜ c− 3⎥ ∈ (4,95, 5), a zatem 4<⎜ c− 3⎥ skąd ⎜ c− 3⎥ ^{− 5}≤ 1/4⁵.

•  Wypiszemy wzór Taylora z 3-tą resztą dla funkcji f(x) = x^1/3 w punkcie x₀=125 i zastosujemy go do obliczenia w przybliżeniu liczby 124^1/3 i oszacowania błędu tego przybliżenia.

Wynika stąd, że wzór Taylora z R₃(x) dla funkcji f w punkcie x₀=125 jest postaci

dla pewnego c leżącego między 125 oraz x.

W szczególności wielomian Taylora rzędu 2 dla funkcji f w punkcie 125 ma postać

a zatem przybliżony wzór na wartości funkcji f dla x bliskich 125 ma postać

W szczególności weźmy x = 124. Mamy wtedy:

Błąd tego przybliżenia możemy oszacować w następujący sposób:

Ostatnia nierówność wynika z tego, że 124<c<125 a zatem 4<124^1/3<c^1/3 co implikuje, że
c^-8/3<4^-8.

•  Wyznaczymy teraz wielomiany MacLaurina rzędu 3 i 4 oraz wzór Taylora z R₅(x) punkcie -1 dla funkcji f(x)=x⁴-x³+3x²+1.

Mamy f′ (x)=4x³-3x²+6x, f′ ′ (x)=12x²-6x+6, f⁽³⁾(x)=24x-6, f⁽⁴⁾(x)=24, f⁽⁵⁾(x)=0, zatem f(0)=1, f′ (0)=0, f′ ′ (0)=6, f⁽³⁾(0)=-6, f⁽⁴⁾(0)=24. Otrzymujemy zatem wielomian MacLaurina rzędu 3:

i wielomian MacLaurina rzędu 4:

Ostatnia równość ilustruje uwagę z początku wykładu mówiącą o tym, że jeśli funkcja f jest wielomianem stopnia n to każdy jej wielomian Taylora rzędu k≥ n jest jej równy.

Aby wyznaczyć wzór Taylora z R₅(x) dla funkcji f(x) w punkcie x₀=1 wyliczamy:

f(1)=4, f′ (1)=7, f′ ′ (1)=12, f⁽³⁾(1)=18, f⁽⁴⁾(1)=24 , co daje

ponieważ (zgodnie z uwagą z początku wykładu) R₅(x)=0, gdyż f⁽⁵⁾(x)=0. W szczególności oznacza to, że zapisaliśmy wielomian f jako kombinację liniową potęg jednomianu x-1.

Uwaga

Podobnie wypisując dla dowolnego wielomianu f stopnia n≤ k wzór Taylora z R_k(x) w dowolnym punkcie x₀ wyznaczamy po prostu zapis tego wielomianu jako sumy potęg jednomianu x-x₀.

•  Wypiszemy wzór MacLaurina z n-tą resztą dla funkcji f(x) = e^x. Oszacujemy błąd tego przybliżenia liczby e = f(1) przez liczbę T₀(1), gdzie T₀(x) jest wielomianem Taylora rzędu n-1 funkcji e^x.

Mamy: f(x) = e^x, f′ (x) = e^x, f′ ′ (x) = e^x, ..., f^(n-1)(x) = e^x, f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, czyli

f(0) = 1, f′ (0) = 1, f′ ′ (0) = 1, ..., f^(n-1)(0) = 1. Zatem wzór MacLaurina z n-tą resztą dla funkcji e^x wygląda następująco:

Oszacujmy teraz błąd przybliżenia liczby e przez liczbę

: .

W szczególności dla n = 5 błąd nie przekracza 1/40 , a dla n = 7 nie przekracza 1/1680.

Uwaga

•  Istnieją również inne wzory opisujące n-tą resztę R_n(x). Na przykład wiadomo, że jeśli spełnione są założenia twierdzenia o wzorze Taylora z resztą w postaci Lagrange'a to dla każdego x∈ (a, b), istnieje λ ∈ (0,1) takie, że

To ostatnie wyrażenie nazywamy n-tą resztą w postaci Cauchy'ego. Reszta w postaci Lagrange'a i reszta w postaci Cauchy'ego to różne wzory na tę samą liczbę

Użycie reszty w postaci Lagrange'a pozwala na znacznie prostsze (choć często dużo słabsze) oszacowanie błędu przybliżenia R_n(x) niż użycie reszty w postaci Cauchy'ego. Z tego powodu używaliśmy tu tylko reszty w postaci Lagrange'a.