Zadania

  1. Napisz wielomian Taylora T4(x) rzędu 3 dla funkcji y=lnx w punkcie x0=4. Napisz wzór Taylora z R4(x) dla tej funkcji.

  2. Napisz wielomian MacLaurina rzędu 4 dla funkcji y=ln(1+x). Napisz wzór MacLaurina z R5(x) dla tej funkcji. Oszacuj błąd przybliżenia liczby ln(1,3) przez T0(0,3), gdzie T0 jest wielomianem MacLaurina rzędu 4 funkcji y=ln(1+x).

  3. Napisz wzór Taylora z trzecią resztą dla funkcji f(x) = 1/x1/2 w punkcie x0=1 . Oszacuj błąd przybliżenia liczby f(11/10) przez T1(11/10), gdzie T1 jest wielomianem Taylora rzędu 2 w punkcie x0=1.

  4. Napisz wzór Taylora z R3(x) dla funkcji f(x)=x1/3 w punkcie x0=64. Jaki błąd popełniamy stosując ten wzór do obliczenia przybliżonej wartości liczby

  5. Wyznacz wielomian MacLaurina rzędu 4 dla funkcji f(x)=sinx oraz oszacuj dokładność wzoru przybliżonego sinx≈ T0(x) dla ⎪x⎪ ≤ π/6.

  6. Korzystając ze znanych rozwinięć funkcji w szereg MacLaurina wyznacz szereg Taylora danej funkcji we wskazanym punkcie:

  7. Stosując metodę Newtona oblicz w przybliżeniu pierwiastek równania f(x) = 0 leżący w przedziale [a, b] (wykonaj trzy kroki). Wykaż, że metodę można stosować.

    a) f(x) = x5-x-1, [a, b] = [1, 2] b) f(x) = ex-2(x-1)2, [a, b] = [0,1].