| ↔ poprzedni punkt | następny punkt ≈ |
Omawianie całkowania funkcji zawierających wyrażenia niewymierne (pierwiastkowe) ograniczymy do przypadków mających największe znaczenie praktyczne.
Całkowanie funkcji zawierających pierwiastek z wyrażenia liniowego
Całkę
|
gdzieR oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej przez podstawienie
 |
Przykład
Obliczymy całkę
Całkowanie funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy trójmianu kwadratowego
Można wykazać, że całka postaci
 |
gdzie R oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów, da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Efektywna metoda jej wyznaczania polega na sprowadzeniu zadania do obliczenia jednej z całek typu
  |
Pierwsza z nich należy do kategorii całek podstawowych
 |
Drugą, przy założeniu x 2 + k > 0, wyznaczymy sprowadzając do całki funkcji wymiernej przez tzw. podstawienie Eulera
 |
Mamy
 |
Stąd
 |
 |
Zatem
 |
Ostatecznie
 |
Przykład
Obliczymy całkę
Sprowadzamy trójmian do postaci kanonicznej
Za pomocą podstawienia t = x - 3 dostajemy całkę omawianego typu
Jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze trójmianu jest ujemny (a < 0), to w analogiczny sposób całkę
 |
sprowadzamy do całki typu pierwszego.
W celu obliczenia całki
 |
przedstawiamy jąw postaci
 |
Pierwszą całkę wyznaczamy metodą całkowania przez części
 |
Ponieważ drugą całkę wyznaczyliśmy wcześniej, po podstawieniu wyników do wzoru dostajemy
 |
Stąd ostatecznie
 |
Analogicznie postępując można wyznaczyć również całkę
 |
Prościej jest jednak zastosować podstawienie x = sint.
ι Pytanie kontrolne 8.8
Stosując podstawienie x = sint oblicz całkę
W przykładzie tym obliczenie całki z iloczynu wielomianu i pierwiastka kwadratowego zostało, w wyniku podstawienia, zastąpione obliczeniem całki funkcji trygonometrycznej.
| ↔ poprzedni punkt | następny punkt ≈ |