Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b], to jest na nim ograniczona.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. nie każda funkcja ograniczona na przedziale [a, b] jest na nim całkowalna.

nie jest całkowalna w żadnym przedziale [a, b], ponieważ dla ξ _k wymiernych granicą ciągu sum całkowych jest długość przedziału [a, b], zaś dla ξ _k niewymiernych zero, a to oznacza, że nie istnieje wspólna granica dla dowolnego wyboru argumentów funkcji f.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to jest na nim całkowalna.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b], i ma skończoną liczbę punktów nieciągłości to jest na nim całkowalna.

Skończona liczba punktów nieciągłości nie jest warunkiem koniecznym całkowalności funkcji.

gdzie E oznacza część całkowitą liczby, jest całkowalna na przedziale [0, 1], ale w punktach x = 1/n, dla n >1, jest nieciągła (rys. 9.7).

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest monotoniczna na przedziale [a, b], to jest na nim całkowalna.

Twierdzenie (o całkowalności funkcji na podprzedziale)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b], to jest całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b], to funkcja | f | jest też na nim całkowalna.

nie jest całkowalna na przedziale [0, 1] (uzasadnienie analogiczne jak w przypadku funkcji Dirichleta), podczas gdy funkcja |f(x)| ≡ 1 ma na tym przedziale całkę równą 1.

Twierdzenie (o równości całek)

Jeżeli funkcje f i g różnią się w skończonej liczbie punktów przedziału [a, b] i jedna z nich jest całkowalna na tym przedziale, to druga także jest całkowalna i całki ich na przedziale [a, b] są sobie równe.

Powyższe twierdzenia, choć gwarantują istnienie całek oznaczonych pokaźnej zbiorowości funkcji, nie dostarczają efektywnych metod ich wyznaczania.

Stosowane w praktyce metody obliczania całek opierają się na kolejnych twierdzeniach, których stosunkowo proste dowody wynikają bezpośrednio z definicji.

Twierdzenie (o liniowości całki oznaczonej)

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a, b], to funkcje f + g oraz A⋅ f, gdzie A oznacza dowolną stałą, są także całkowalne na tym przedziale, przy czym

"całka sumy równa się sumie całek",

"stałą można wynieść/wyłączyć przed znak całki".

Twierdzenie (o zachowaniu nierówności przy całkowaniu)

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a, b] i spełniają warunek f(x) ≤ g(x), dla x∈ [a, b] , to

Twierdzenie (o wartości średniej - całkowe)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to istnieje taki punkt ξ ∈ [a, b], że

Dla funkcji przyjmującej wartości nieujemne, występująca w tezie równość ma następującą interpretację geometryczną. Pole trapezu krzywoliniowego wyznaczonego przez tę funkcję jest równe polu prostokąta o bokach, których długości wynoszą f(ξ) oraz b - a (rys. 9.9).

Definicja

Wyrażenie

nazywamy wartością średnią, (lub średnią całkową) funkcji f na przedziale [a, b].

Jest to uogólnienie znanego pojęcia średniej arytmetycznej skończonej liczby składników.

Twierdzenie (o addytywności całki względem przedziału całkowania)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b], zaś c∈ (a, b), to

Twierdzenie to wykorzystujemy przy całkowaniu funkcji określonych różnymi wzorami na podprzedziałach przedziału całkowania.

Spośród wszystkich twierdzeń szczególne miejsce zajmują tzw. podstawowe (główne) twierdzenia rachunku całkowego wiążące pojęcia całki nieoznaczonej i oznaczonej.