Definiując całkę oznaczoną Riemanna zakładaliśmy, że przedział całkowania jest skończony, zaś funkcja podcałkowa jest na nim ograniczona. Zajmiemy się obecnie rozszerzeniem pojęcia całki na przypadki, gdy warunki te nie są spełnione.

Definicja

Jeżeli funkcja f jest określona na przedziale [a, ∞ ), całkowalna na każdym przedziale [a, T] (T > a), i istnieje granica skończona

to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą I rodzaju funkcji f na przedziale [a, ∞) i oznaczamy

Czyli

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą I rodzaju funkcji f na przedziale (-∞, a], tzn.

oraz całkę niewłaściwą I rodzaju funkcji f na przedziale (-∞, ∞ )

gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Jeśli granica występująca w definicji całki niewłaściwej nie istnieje, lub jest nieskończona to mówimy, że całka jest rozbieżna. W przeciwnym wypadku mówimy, że jest zbieżna.

Geometrycznie całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju interpretujemy jako pole figury płaskiej rozciągającej się nieograniczenie wzdłuż osi Ox.

Przykłady

Całka ta podaje pole zacienionego obszaru z rys. 9.12

Rys. 9.12

Ponieważ ostatnia granica nie istnieje całka jest rozbieżna.

Niech funkcja f będzie określona na przedziale [a, b), całkowalna w każdym przedziale [a, b - ε ], 0 < ε < b - a oraz nieograniczona w sąsiedztwie punktu b.

Definicja

Jeżeli istnieje granica skończona

to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą II rodzaju funkcji f na przedziale [a, b) i oznaczamy

Czyli

W analogiczny sposób definiujemy całkę całką niewłaściwą II rodzaju funkcji f na przedziale (a,b], tzn.

Jeżeli funkcja jest nieograniczona w otoczeniu punktu c należącego do wnętrza przedziału [a, b], wówczas całkę niewłaściwą określamy następująco

o ile obie całki po prawej stronie równości istnieją, w myśl wcześniej podanych określeń.

Przykład

Obliczymy całkę niewłaściwą II rodzaju

Oznacza to, że prezentowany na rys. 9.13 obszar, ograniczony osią Ox, prostą x = 0 (czyli osią Oy), prostą x = 1 i wykresem funkcji f(x) = x ^-1/2 ma pole równe 2.

Rys. 9.13

Kończąc omawianie metod całkowania odnotujmy kilka uwag.

Uwagi

• O ile termin całka nieoznaczona oznacza zbiór funkcji, to całka oznaczona jest liczbą.
• Istnienie całki nieoznaczonej funkcji zapewnia proste wyznaczenie jej całki oznaczonej (wzór Newtona-Leibniza). Nie jest to jednak warunek konieczny. Przykładowo funkcja sgn(x), dla której nie istnieje funkcja pierwotna, posiada całkę oznaczoną na każdym przedziale skończonym (wykaż wykorzystując twierdzenie o addytywności względem przedziału całkowania).
• Można wykazać, że szczególnie ważna w probabilistyce całka

  

  podczas gdy całka nieoznaczona tej funkcji nie da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych.