Zgodnie z interpretacją geometryczną całki oznaczonej obliczenie pola powierzchni trapezu krzywoliniowego dla funkcji nieujemnej jest równoważne z wyznaczeniem całki oznaczonej tej funkcji. Ponieważ dla funkcji niedodatniej całka podaje pole figury ze znakiem minus, ogólny wzór na pole figury płaskiej przyjmuje postać

W praktyce rachunkowej oznacza to oddzielne wyznaczanie pól nad i pod osią Ox, a następnie ich zsumowanie.

Przykład

Obliczymy pole figury ograniczonej osią Ox , prostymi x = 0, x = 3π/2 oraz wykresem funkcji cosinus (rys. 10.1).

Rys. 10.1

Uwaga

Przedział [a, b] może być nieograniczony.

Przykładem jest poniższe zadanie.

Pytanie kontrolne 10.1

Oblicz pole figury ograniczonej osią Ox oraz krzywą

Wzór pozwalający obliczać pole powierzchni można w naturalny sposób uogólnić na przypadek pola figury (zwanej obszarem normalnym) definiowanej przez dwie funkcje (rys. 10.3).

Rys. 10.3

Twierdzenie

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe na przedziale [a, b] i spełniają na nim warunek g(x) ≤ f(x), to pole obszaru D, ograniczonego krzywymi y = f(x), y = g(x) oraz prostymi x = a i x = b, jest równe

(zauważmy, że dla funkcji g(x) ≡ 0 dostajemy wcześniej stosowany wzór).

Przykład

Obliczymy pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji

Aby wyznaczyć granice całkowania znajdujemy punkty przecięcia się krzywych rozwiązując układ równań

Dostajemy

Zatem szukane pole D jest wyznaczone przez funkcje f i g na przedziale [-1, 1], na którym zachodzi nierówność f(x) ≥ g(x) (rys. 10.4).

Rys. 10.4

Obliczamy szukane pole wykorzystując jego symetrię względem osi Oy (parzystość funkcji podcałkowej)

Pytanie kontrolne 10.2

Oblicz pole figury płaskiej ograniczonej wykresami funkcji

następny punkt ≈