↔ poprzedni punkt  następny punkt ≈


3. POCHODNE CZĄSTKOWE PIERWSZEGO RZĘDU

Definicja

Niech f : D → R, D ⊂ Rm , A∈ IntD, A = ( a1, ..., an) . Jeżeli istnieje granica właściwa (funkcji jednej zmiennej h)

,

(gdzie Ei = (0, ...,1, ..., 0) jest i-tym wektorem bazy kanonicznej przestrzeni Rn), to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej xi w punkcie A i oznaczamy jednym z symboli:

Symbolem (i = 1, ..., m) oznaczamy funkcję określoną na zbiorze przyporządkowującą punktowi A liczbę .

Funkcje , i = 1, ..., m nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f.

Dla m = 2 zamiast pisać piszemy lub fx; zamiast piszemy lub fy. Podobnie postępujemy gdy m = 3 z tym, że zamiast piszemy lub fz.

Zatem

i dla funkcji trzech zmiennych

Przykład

Niech f(x, y) = x2 + 2xy2 + cosx - 2y . Wykorzystując definicję obliczymy

ponieważ

;

podobnie

Uwaga

Obliczając traktujemy wszystkie zmienne xj dla j ≠ i jako stałe i wyznaczamy pochodną w punkcie ai funkcji f traktowanej jako funkcję jednej zmiennej xi.

Dokładniej: , gdzie φ i(x) = f(a1, ..., ai-1, x, ai+1, ...am).

Wynika stąd, że licząc pochodne cząstkowe możemy stosować wszystkie znane reguły liczenia pochodnej funkcji jednej zmiennej, w szczególności wzory na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu, iloczynu funkcji przez stałą.

Przykład

• Niech f(x, y) = x2 + 2y2x + sinx - 3x3y.

Obliczając traktujemy y jako stałą (zatem 2y2, 3y są stałymi), zaś f jako funkcję zmiennej x) i otrzymujemy:

Licząc traktujemy x, a więc również x2, 2x, sinx, 3x3, jako stałe, zaś f jako funkcję zmiennej y, a to daje

• Obliczmy pochodne cząstkowe funkcji w punkcie A=(1,2).

Traktując z jako funkcję zmiennej x i stosując odpowiednie wzory na pochodną funkcji jednej zmiennej dostajemy:

.

Analogicznie:

.

Zatem

• Obliczmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji trzech zmiennych .

Postępując podobnie jak w poprzednich przykładach dostajemy:

.

Korzystaliśmy z tego, że przy liczeniu pierwszej pochodnej z oraz traktujemy jako stałe, podobnie przy liczeniu drugiej pochodnej z oraz traktujemy jako stałe a przy liczeniu trzeciej pochodnej traktujemy jako stałą.

• Obliczmy jeszcze pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji

.

Mamy

W tym przykładzie licząc każdą z pochodnych cząstkowych korzystaliśmy z wzoru na pochodną iloczynu funkcji.

• Niech z(x, y) = x2y. Obliczamy - tu funkcję z(x, y) rozpatrujemy jako funkcję potęgową xa zmiennej x, gdzie a = 2y;

Obliczając zy traktujemy z(x, y) jako funkcję zmiennej y, a jest to funkcja postaci aφ (y), gdzie φ (y) = 2y, a = x. Zatem

.


↔ poprzedni punkt  następny punkt ≈